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[선형대수] 05. 역행렬

역행렬, 역행렬 계산, 역행렬과 거듭제곱

1. 역행렬

행렬 \(A\)의 역행렬(inverse matrix)이란 아래와 같이 \(AB = I\)를 만족하는 행렬 \(B\)를 의미한다. 이 때, \(A\)를 \(B\)의 왼쪽 역행렬(left inverse matrix), \(B\)를 \(A\)의 오른쪽 역행렬(right inverse matrix)라고 부른다.

\[ AA^{-1} = A^{-1}A = I \]
\[ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \]

역행렬이 존재하는 행렬을 가역 행렬(invertible matrix)이라 부르며, 행렬식의 값이 0이어서 역행렬이 존재하지 않는 행렬을 특이 행렬(singular matrix)이라고 부른다.

2 * 2 행렬의 역행렬

2 * 2 행렬의 역행렬을 구하는 방법은 아래와 같다.

\[ \begin{align*} A^{-1} & = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \\ \end{bmatrix}, \quad (\det(A) \neq 0) \\ \\ & = \frac{1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \\ \end{bmatrix}, \quad (a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0) \\ \end{align*} \]

n * n 행렬의 역행렬

n * n 행렬의 역행렬을 구하는 방법은 행렬식에서 다룬 수반 행렬을 사용해야 한다. 구하는 방법은 아래와 같다.

\[ A^{-1} = \frac{\text{adj}(A)}{\det(A)} \]

2. 역행렬 계산

역행렬을 구하는 방법은 다양하지만, 앞서 다뤘던 가우스-조르단 소거법(Gauss Jordan elimination)을 사용하는 것이 가장 간편하다. 절차는 아래와 같다.

  • 행렬 \(A\)의 오른쪽에 같은 크기를 갖는 단위 행렬 \(I\)를 첨가해 아래와 같이 첨가 행렬 \([A \vert I]\)를 만든다.
\[ [A|I] = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \]
  • 이 행렬을 기본 행 연산을 통해 아래와 같이 \([I \vert B]\)를 만든다.
\[ [I|B] = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1/12 & -1/6 & 1/6 \\ 0 & 1 & 0 & 5/12 & 1/6 & -1/6 \\ 0 & 0 & 1 & -1/4 & 1/2 & 1/2 \\ \end{array} \right] \]
  • 만약 이 과정에 성공하여 위와 같은 형태의 첨가 행렬이 나왔을 때, \(A^{-1}=B\)이고, 나오지 않는다면 행렬 \(A\)의 역행렬은 존재하지 않는다.
\[ A^{-1} = B = \frac{1}{12} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & -2 \\ -3 & 6 & 6 \\ \end{array} \right] \]

Python으로 구현하면 아래와 같다. 

scalar = int | float
vector = list[scalar]
matrix = list[vector]


def mat_aug_mat(a: matrix, b: matrix) -> matrix:
    """transform matrix into matrix augmented matrix"""

    return [v + u for v, u in zip(a, b)]


def mat_coef_inv(a: matrix, b: int) -> tuple:
    """separates coefficient matrix"""

    x: matrix = [r[:b] for r in a]
    y: matrix = [r[b:] for r in a]
    return x, y


def gauss_jordan_eli(mat: matrix) -> matrix:
    """Gauss-Jordan elimination, transform matrix into Gauss-Jordan eliminated form"""

    n: int = len(mat)

    for i in range(n):
        mat[i] = [ele / mat[i][i] for ele in mat[i]]

        for j in range(n):
            if i == j:
                continue

            mat_tmp = [ele * -mat[j][i] for ele in mat[i]]

            for k in range(len(mat[i])):
                mat[j][k] += mat_tmp[k]

    return mat


def mat_inv(a: matrix) -> matrix:
    """returns inverted matrix"""

    n: int = len(a)
    _, res = mat_coef_inv(gauss_jordan_eli(mat_pivot(mat_aug_mat(a, mat_identity(n)))), n)

    return res

import numpy as np

x = np.array([[1, 0, -2], [0, 5, 6], [7, 8, 0]])

res = np.linalg.inv(x)

3. 역행렬의 성질

  • 역행렬과 거듭 제곱
\[ \begin{align*} (A^{-1})^{-1} & = A \\ \\ (A^{n})^{-1} & = (A^{-1})^{n} \\ \\ (aA)^{-1} & = \frac{1}{a}A^{-1} \\ \end{align*} \]
  • 역행렬과 전치 행렬
\[ (A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1} \]
  • 역행렬과 행렬식
\[ \det(A)^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \]

Reference