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[선형대수] 11. 직교 행렬

직교와 직교 행렬

1. 직교 행렬

직교 행렬(orthogonal matrix)이란 어떤 행렬의 행 벡터와 열 벡터가 정규 직교(orthonomal) 기저를 이루는 행렬을 의미한다. 직교 행렬은 자기 자신의 전치 행렬과 곱했을 때 단위 행렬이 되는 성질이 있기 때문에 이를 통해 주어진 행렬이 직교 행렬인지 확인할 수 있다.

  • 행렬 \(A\)가 직교 행렬일 때,
\[ \begin{align*} AA^{T} & = A^{T}A = I \\ \\ \therefore A^{T} & = A^{-1} \end{align*} \]

행렬의 직교 여부 확인을 Python으로 구현하면 아래와 같다. 

scalar = int | float
vector = list[scalar]
matrix = list[vector]


def orthogonal_check(a: matrix) -> bool:
    """checks whether orthogonal matrix or not"""

    tmp: matrix = mat_mul(a, mat_trans(a))
    tmp: matrix = mat_smul(1 / tmp[0][0], tmp)  # (1)!
    I: matrix = mat_identity(len(a))

    return tmp == I
  1. 부동소수점으로 인한 문제를 피하기 위한 추가 연산이 필요하다.

2. 닮음

아래 조건을 만족하는 행렬 \(A\)와 \(B\)에 대해 닮음 이라고 하고, 특히 \(P\)가 직교 행렬(orthogonal matrix)일 때 행렬 \(A\)와 \(B\)는 직교 닮음(orthogonally similar)이라고 한다.

\[ B = P^{-1}AP \]

닮은 행렬의 성질

닮은 행렬의 성질은 다음과 같다.

  • 서로 닮은 행렬의 행렬식은 동일하다.
\[ \det(A) = \det(B) \]
증명
\[ \begin{align*} \det(B) & = \det(P^{-1}) \det(A) \det(P) \\ \\ & = \frac{1}{\det(P)} \det(A) \det(P) \\ \\ & = \det(A) \frac{1}{\det(P)} \det(P) \\ \\ & = \det(A) \end{align*} \]
  • 행렬 \(A\)가 가역 행렬이라는 말은 \(P^{-1}AP\)가 가역 행렬이라는 말과 같다.
  • 행렬 \(A\)와 \(P^{-1}AP\)의 랭크(rank)와 널리티(nullity)는 동일하다.
\[ \begin{align*} rank(A) & = rank(P^{-1}AP) \\ \\ nullity(A) & = nullity(P^{-1}AP) \end{align*} \]
  • 행렬 \(A\)와 \(P^{-1}AP\)의 대각합은 동일하다.
\[ tr(A) = tr(P^{-1}AP) \]
  • 행렬 \(A\)와 \(P^{-1}AP\)의 고유값은 동일하다.

Reference