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[선형대수] 09. 다양한 곱 연산

다양한 곱 연산. 외적, 벡터 곱, 삼중 곱

1. 외적

벡터의 외적(outer product) 또는 텐서 곱(tensor product)은 다음과 같은 연산을 의미한다.

\[ \textbf{u} \otimes \textbf{v} = \textbf{u} \textbf{v}^{T} \]

Python으로 구현하면 아래와 같다. 하우스홀더 행렬 공식에서 이미 구현한 바 있다. 

scalar = int | float
vector = list[scalar]
matrix = list[vector]


def v_outer(a: vector, b: vector) -> matrix:
    """returns outer/tensor product of 2 vectors"""

    res: matrix = [[v * u for u in b] for v in a]
    return res

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])

res = np.outer(a, b)

참고로 두 벡터의 내적은 두 벡터의 외적의 대각합과 같다.

\[ \langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle = \textbf{u} \cdot \textbf{v} = tr(\textbf{u} \otimes \textbf{v}) \]

2. 벡터 곱

벡터 곱(vector product)은 크로스 곱(cross product) 또는 가위 곱이라고 부르기도 하는데, 3차원 공간의 벡터들 간에서만 적용할 수 있는 연산으로, 다음과 같이 기저 벡터를 사용해 구할 수 있다.

\[ \textbf{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, \quad \textbf{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, \quad \textbf{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \]
\[ \begin{align*} \textbf{u} \times \textbf{v} & = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ \end{vmatrix} \\ \\ & = \begin{vmatrix} u_{2} & u_{3} \\ v_{2} & v_{3} \\ \end{vmatrix}\textbf{i} - \begin{vmatrix} u_{1} & u_{3} \\ v_{1} & v_{3} \\ \end{vmatrix}\textbf{j} + \begin{vmatrix} u_{1} & u_{2} \\ v_{1} & v_{2} \\ \end{vmatrix}\textbf{k} \\ \\ & = (u_{2}v_{3} - u_{3}v_{2})\textbf{i} - (u_{1}v_{3} - u_{3}v_{1})\textbf{j} + (u_{1}v_{2} - u_{2}v_{1})\textbf{k} \end{align*} \]

벡터 곱 \(\textbf{u} \times \textbf{v}\)의 방향은 벡터 \(\textbf{u}\)와 \(\textbf{v}\)에 수직이고, 크기는 \(\textbf{u}\)와 \(\textbf{v}\) 두 벡터가 이루는 정사각형의 넓이, 즉 벡터 \(\textbf{u}\)와 벡터 \(\textbf{v}\)의 벡터 곱의 노름(norm)과 같다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

\[ \Vert \textbf{u} \times \textbf{v} \Vert = \Vert \textbf{u} \Vert \Vert \textbf{v} \Vert \vert \sin \theta \vert \]
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])

res = np.cross(a, b)

3. 삼중 곱

삼중 곱(triple product)은 벡터 3개를 특수하게 곱하는 방법으로 스칼라 삼중 곱과 벡터 삼중 곱 두 가지가 있다.

스칼라 삼중 곱

스칼라 삼중 곱은 아래와 같이 행렬식을 통해 계산한다.

\[ \textbf{u} \cdot (\textbf{v} \times \textbf{w}) = \begin{vmatrix} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \\ \end{vmatrix} \]

벡터 삼중 곱

벡터 삼중 곱은 아래와 같이 벡터 곱을 세번 하는 것을 의미한다.

\[ \textbf{u} \times (\textbf{v} \times \textbf{w}) \]

Reference