[기초통계학] 11. 정규분포
정규분포 개념 정리
1. 정규분포¶
분포의 중심이 평균(\(\mu\))이고, 퍼져 있는 정도가 분산(\(\sigma^{2}\))인 정규분포(normal distribution)를 아래와 같이 표기한다.
\[
X \sim N(\mu, \sigma^{2})
\]
출처: wikipedia - Normal distribution
정규분포의 확률질량함수는 아래와 같다.
\[
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{2}}, \quad -\infty < x < \infty
\]
정규분포는 연속형 자료이기 때문에 특정 구간의 확률을 계산하기 위해서는 아래와 같이 적분을 사용해야 한다.
\[
\begin{align*}
P(a < X < b) & = \int_{a}^{b}f(x)dx \\
\\
& = \int_{a}^{b}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{2}}dx
\end{align*}
\]
2. 표준 정규분포¶
정규분포의 확률 계산을 간편하게 수행하기 위해 \(\mu = 0, \sigma^{2} = 1\)로 변환하여 0이 중심인 대칭 형태의 확률분포로 변환 것을 표준 정규분포(standard normal distribution)라 하며 아래와 같이 표기한다.
\[
Z \sim N(0, 1)
\]
표준 정규분포의 확률질량함수는 아래와 같다.
\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}, \quad -\infty < x < \infty
\]
표준 정규분포도 마찬가지로 연속형 자료이기 때문에 특정 구간의 확률을 계산하기 위해서는 아래와 같이 적분을 사용해야 한다.
\[
\begin{align*}
P(a < X < b) & = \int_{a}^{b}f(x)dx \\
\\
& = \int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}dx
\end{align*}
\]
3. 정규분포와 확률¶
표준 정규분포의 확률을 계산할 때는 0을 중심으로 대칭이라는 사실을 이용해서 해결하게 되며, 주요 형태는 아래와 같다.
\[
P(Z \leq a), \quad P(Z \geq a), \quad P(a < Z \leq b), \quad P(\vert Z \vert \leq a), \quad P(\vert Z \vert \geq a)
\]
통계학에서는 아래 두 경우의 확률을 주로 사용한다.
\[
\begin{align*}
P(Z \leq 1.645) \simeq 0.9500 \\
\\
P(Z \leq 1.96) \simeq 0.9750
\end{align*}
\]
Python에서는 SciPy를 사용해서 정규분포의 확률을 계산할 수 있다. 이 때 loc은 분포의 평균, scale은 분포의 분산을 의미하기 때문에 아래와 같이 각각 0, 1로 입력한다면 표준 정규분포의 확률을 반환한다.
4. 정규분포의 성질¶
정규분포는 아래와 같은 성질을 갖는다.
- 선형 변환된 정규확률변수도 정규분포를 따름
\[
\begin{gathered}
X \sim N(\mu, \sigma^{2}) \ \Rightarrow \ aX + b \sim N(a\mu + b, a^{2}\sigma^{2}) \\
\\
\because E(aX + b) = a\mu + b, \quad Var(aX + b) = a^{2}\sigma^{2}
\end{gathered}
\]
\[
\begin{align*}
Z \sim N(0, 1) \ & \Rightarrow \ X = \sigma Z + \mu \sim N(\mu, \sigma^{2}) \\
\\
X \sim N(\mu, \sigma^{2}) \ & \Rightarrow \ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)
\end{align*}
\]
- 정규확률변수의 선형 결합도 정규분포를 따름
\[
\begin{gathered}
X_{1} \sim N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}), \quad X_{2} \sim N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}) \\
\\
X_{1} \pm X_{2} \sim N(\mu_{1} \pm \mu_{2}, \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} \pm 2\sigma_{12})
\end{gathered}
\]
- 두 정규변수의 공분산이 0이면 두 변수는 독립